derivadas

                             DERIVADAS
RAZON DE CAMBIO

La interpretación intuitiva de la razón de cambio instantánea, pensamos que el punto P(t,f(t)) se mueve a lo largo de la gráfica de la función Q=f(t). Cuando Q cambia con el tiempo t, el punto P se mueve a lo largo da la curva. Pero si súbitamente, en el instante t, el punto P comienza a seguir una trayectoria recta, entonces la nueva trayectoria de P corresponde que Q cambia a una razón constante.

También como conclusión tenemos que si la pendiente de la recta tangente es positiva ésta es ascendente y si le pendiente es negativa ésta es descendente, así  Q es creciente en el instante t .

La derivada de cualquier función, no solamente una función del tiempo, puede interpretarse como una razón de cambio instantánea con respecto de la variable independiente. Si y=f(x), entonces la razón de cambio promedio de y (por un cambio unitario en x) en el intervalo [x,x+"x] es el cociente

La razón de cambio instantánea de y con respecto de x es el límite, cuando "x!0, de la razón de cambio promedio. Así, la razón de cambio instantánea de y con respecto de x es

La derivación de las funciones trigonométricas es el proceso matemático de encontrar el ritmo al cual una función trigonométrica cambia respecto de la variable independiente; es decir, la derivada de la función. Las funciones trigonométricas más habituales son las funciones sin(x), cos(x) y tan(x). Por ejemplo, al derivar f(x) = sen(x), se está calculando la función f'(x) tal que da el ritmo de cambio del sen(x) en cada punto x.

Sabemos que  e es un número irracional, pues e = 2.718281828... La notación e para este número fue dada por Leonard Euler (1727). La función f(x) = ex   es una función exponencial natural. Como 2<e<3, la gráfica de f(x) = ex está entre f(x) = 2xy f(x) = 3x, como se ilustra a la izquierda.

 Como e > 1, la función f(x) = e^x es una función creciente. El dominio es el conjunto de los números reales y el recorrido es el conjunto de los números reales positivos.

Ejemplo

y = e ^{2x - 1}

 y = x³e^x

LIMITE

                  LIMITE

Un límite es hasta donde podemos llegar, son los valores cercanos a aquel valor en el cual la función se indetermina, es decir, en donde el valor de la función sería. A éste valor se le conoce como c.

Límites directos

Por ejemplo, para encontrar el límite de 2x - 8 cuando x tiende a 3:

Se sustituye el valor al que tiende x en la función: = - 2

El resultado es igual al valor del límite.

Cálculo de Límites mediante factorización

Sin embargo, cuando al sustituir el valor del número al que tiende x el resultado del límite es igual a , la función se tiene que factorizar, para así poder encontrar el valor del límite, como es en el caso de la siguiente función:= Como el resultado es una indeterminación, se factoriza la función original:(3+1) = 4

Una función f es continua en un número a si y sólo si se satisfacen las tres condiciones .

Si por lo menos una de estas tres condiciones no se cumple en a, entonces se dice que la función f es discontinua en a.

EJEMPLO

Lim x =-1/4

x->-1/4

lim(4x+5)       4(0)+5

x->0                      =5

ejercicio

realizar los siguientes ejercicios

lim(4x+5)      

x->5

lim(5x+8)      

x->9 

Funciones

      

DOMINIO Y CONTRADOMINIO

  Una relación es una regla de correspondencia que se establece entre los elementos de un primer conjunto que se llama dominio con los elementos de un segundo conjunto que se llama contradominio, de tal manera que a cada elemento del dominio le corresponde uno o más elementos en el contradominio.

Dominio. Son los valores que se le pueden asignar a la variable x en

Unafunción, siempre que no exista: división entre 0 o una raíz par

Negativa.

■Contra dominio. Son los valores que toma la variable y en “función”

de lo que vale x. Por esa razón a y se le conoce como f (x),

(y=f (x)). Esta expresiónf (x) no se refiere a un producto f por x,

Sino que se lee como función de x.

ejemplo

y =x +8

 x        y

–3        5

–2        6

–1        7

0          8

…        …

Operaciones Con Funciones

Las funciones se pueden utilizar de la misma manera que los números: sumar, restar, multiplicar, dividir, elevar a una potencia, sacar raíz o se puede hacer combinaciones. Composición De Funciones Dos funciones se combinan para producir un resultado. Sean f, g dos funciones reales de variable real. Entonces se pueden definir las siguientes operaciones:  SUMA, DIFERENCIA, PRODUCTO, COCIENTE.

Y=X

X: 1,2,3,4,5,6.......N

Y=X°
1,2,3,4,5,6,7,8,9...N

 Ejercicio

pre-calculo

sistema de coordenadas

Fue Descartes el primero que utilizó el método de las coordenadas para indicar la posición de un punto (en el plano o en el espacio), por eso se suele decir coordenadas cartesianas. Descartes utilizó, para representar un punto en el plano, dos rectas perpendiculares entre sí. La posición del punto se lograba midiendo sobre los ejes las distancias al punto. Esta idea, la de representar la posición de un punto mediante coordenadas, es tan simple que no te explicas cómo no se descubrió antes. Es la ubicación de un punto en un plano cartesiano. Es decir en el plano formado por el eje "x" y el eje "y" podemos ubicar un par ordenado (x,y). Estos valores me determinan una coordenada rectangular, llamadas así, porque si desde el punto (x,y) trazas una paralela tanto al eje x como al eje y se te genera un rectángulo. Esto es generalizado, y no se da en el caso en que ubicas un punto (x,y) donde x=+-y o y=+-x, ya que se te generaría un cuadrado. Aunque esta condición no restringe la definición de Coordenadas rectangulares ya que lo que se hizo fue rotar 45º el eje de coordenadas.

En el sistema de coordenadas rectangulares, también denominadas coordenadas cartesianas la posición de un punto se encuentra determinada por tres números independientes que definen las distancias a los llamadosplanos coordenados.

Intervalo:
Se llama intervalo al conjunto de números reales comprendidos entre otros dos dados: a y b que se llaman extremos del intervalo.
Hay cuatro tipos de intervalos los cuales son:
Intervalo abierto
(a, b) = {x / a < x < b}

Intervalo cerrado

[a, b] = {x / a ≤ x ≤ b}

Intervalo semiabierto por la izquierda
(a, b] = {x / a < x ≤ b}

Intervalo semiabierto por la derecha
[a, b) = {x / a ≤ x < b}

Desigualdades

En la desigualdad "menor que" (<). También existen otros derivados de estos dos. Si alguno de estos dos símbolos aparece acompañado por una línea horizontal por debajo, significa "mayor o igual que" o "menor o igual que", respectivamente. Un ejemplo de una desigualdad es: 2x + 7 < 19 Que se lee como "2 x más 7 es menor que 19". Y representa al conjunto de números para el que esta expresión es verdadera. En la desigualdad, los términos están relacionados por un símbolo de "mayor que" (>) o "menor que" (<).

 

Ejemplos
3-6x<15
   3-3-6<15-3
     -6x<12
        -6x/6x< -12/-6
               x<2

Ejercicios
 Realiza  las siguientes desigualdades 
7x-13<8

33-2x<1

13x<5x-2